דטרמיננטות

1.        אם שתי שורות שקולות (זהות או כפולה אחת של השניה) אז הדטרמיננטה = 0.

2.        אם מכפילים שורה ב λ אז כאילו הכפלנו את כל הדטרמיננט.

3.        הדטרמיננט הוא ה"ל

4.        מטריצה מינורית A_pq  היא המטריצה שמתקבלת ע"י מחיקת השורות ה- p וה- q והיא מסדר n-1 .

5.        פונקצית הדטרמיננט בעלת n וקטורים מסדר Fⁿ  מקיימת שלושה תנאים:

א.       ליניארית ביחס לכל וקטור – D(v₁…v_I..v_u’…v_n)= D(v₁…v_I…v_n)+ D(v₁…v_I’…v_n)  וגם D(v₁…λv_j…v_n)=λ D(v₁…v_j…v_n)

ב.        פונקציה מתחלפת - D(v₁…v_i..v_j…v_n)= - D(v₁…v_j..v_i…v_n)

ג.         דטרמיננט של הבסיס הסטנדרטי הוא 1.

6.        קיימת פונקצית דטרמיננט והיא יחידה. היא נתונה ע"י צרוף וקטורי העמודה של מטריצה נתונה.

7.        אם A מטריצה ריבועית מסדר n אז A הפיכה אאי"ם detA≠0

8.        לכל מטריצה ריבועית מתקיים  det A^t=det A.

9.        החלפה של 2 שורות צמודות בדטרמיננט גוררות הכפלתו ב –1

10.      אם בדטרמיננט יש שורת אפסים אז הוא שווה ל 0.

11.      אם מוסיפים לדטרמיננט כפולה של שורה (או עמודה) אחרת בדטרמיננט אז ערכו לא משתנה.

12.      דטרמיננט מכפלה של 2 מטריצות הוא מכפלת הדטרמיננטים של כל מטריצה בנפרד.

13.      ההגדרה של דטרמיננטה אינה תלויה בבסיס לכן דטרמיננטות של 2 מטריצות לפי בסיסים שונים שוות אאי"ם המטריצות שקולות שורות לאחר המרת הבסיסים. האמת די הגיוני כי המרה של בסיס הוא מכפלה של מטריצה אלמנטרית ו 2 מטריצות שקולות שורות – הדטרמיננטים שלהן שווים.

14.      במערכת משוואות מהצורה AX=B אם det A≠0 אז קיים פתרון יחיד והוא נתון ע"י נוסחת קרמר:

15.      הקופקטור של A_ij הוא המטריצה המינורית של A_ji  כלומר המינורית המתחלפת.

16.     המטריצה הצמודה של מטריצה A היא המטריצה המוחלפת של מטריצת הקופקטורים של A ורושמים אותה  adj A. הנוסחה שלה: (adjA)_ij=(-1)^I+j|A_ji|

17.     אם det A≠0 אז היא הפיכה והמטריצה ההפיכה הינה:  A^-1 =1/A*adjA

18.     הדרגה של מטריצה ריבועית מסדר n היא rk=n אם ה det A≠0 אחרת נבדוק את המינוריות שלה וכאשר נמצא det A≠0 אז הדרגה תהיה n-1. כלומר הדרגה של A היא הסדר הגדול ביותר של המינורים השונה מ 0.

19.     |det(v₁,v₂)| כאשר v₁,v₂ÎR²   הוא השטח המכוון שבין הוקטורים והמשלימים שלהם.  בהתאמה לגבי שלושה וקטורים ב R³.

20.     תמורה σ היא פונקציה חח"ע ו-"על".

21.     אם יש מספר זוגי של החלפות בתמורה אז המספר בעל סימן חיובי אחרת הוא בעל סימן שלילי. מספר ההחלפות הוא הסיגנום של התמורה ונרשם sgn(σ)={1,-1}