יום שני, 13 ביוני 2011
ערכים וקטורים עצמיים
1. סקלר λÎF נקרא ערך עצמי של T אם קיים 0≠vÎV כך ש: T(v)=λv. ניתן לומר כי v וקטור עצמי ביחס לערך העצמי λ. גם cv יהיה ערך עצמי עבור λ כאשר c הוא סקלר.
2. אם קיימת מטריצה ריבועית שמוגדרת עם אופרטור ליניארי: T(v)=Av אז קיים ערך עצמי λ (אחד לפחות) כך ש: Av=λv כאשר v≠0.
3. הוקטורים העצמיים של כל ערך עצמי λi מהווים תת מרחב בעל מימד ≤1. סכום ישר של תתי המרחבים מהווה בסיס של האופרטור הליניארי הקשור ב A לפי T(v)=Av.
4. הטענות הבאות שקולות:
א. λ הוא ערך עצמי של T.
ב. האופרטור (T-λI) הוא סינגולרי (בלתי הפיך)
ג. det(T-λI)=0.
5. הפולינום האופייני של האופרטור T הוא PT(x) = det(T-xIn)= /[T]B=A/ = det(A-xIn) כאשר B הוא בסיס של v.
6. הפולינום האופייני לא תלוי בבסיס כלומר למטריצות דומות אותו פולינום אופייני ולכן אותם ערכים עצמיים. (הסיבה לכך היא בגלל שהוא מחושב ע"י דטרמיננט שאינו תלוי בבסיסים).
7. הערכים העצמיים של מטריצה משולשת הם איברי האלכסון שלה.
8. וקטורים עצמיים של A (או של אופרטור ליניארי T) מהווים תת מרחב של Fn (או של v).
9. וקטורים עצמיים שונים מ- 0 השייכים לערכים עצמיים שונים הם בת"ל.
יום ראשון, 12 ביוני 2011
דטרמיננטות
1. אם שתי שורות שקולות (זהות או כפולה אחת של השניה) אז הדטרמיננטה = 0.
2. אם מכפילים שורה ב λ אז כאילו הכפלנו את כל הדטרמיננט.
3. הדטרמיננט הוא ה"ל
4. מטריצה מינורית Apq היא המטריצה שמתקבלת ע"י מחיקת השורות ה- p וה- q והיא מסדר n-1 .
5. פונקצית הדטרמיננט בעלת n וקטורים מסדר Fn מקיימת שלושה תנאים:
א. ליניארית ביחס לכל וקטור – D(v1…vI..vu’…vn)= D(v1…vI…vn)+ D(v1…vI’…vn) וגם D(v1…λvj…vn)=λ D(v1…vj…vn)
ב. פונקציה מתחלפת - D(v1…vi..vj…vn)= - D(v1…vj..vi…vn)
ג. דטרמיננט של הבסיס הסטנדרטי הוא 1.
6. קיימת פונקצית דטרמיננט והיא יחידה. היא נתונה ע"י צרוף וקטורי העמודה של מטריצה נתונה.
7. אם A מטריצה ריבועית מסדר n אז A הפיכה אאי"ם detA≠0
8. לכל מטריצה ריבועית מתקיים det At=det A.
9. החלפה של 2 שורות צמודות בדטרמיננט גוררות הכפלתו ב –1
10. אם בדטרמיננט יש שורת אפסים אז הוא שווה ל 0.
11. אם מוסיפים לדטרמיננט כפולה של שורה (או עמודה) אחרת בדטרמיננט אז ערכו לא משתנה.
12. דטרמיננט מכפלה של 2 מטריצות הוא מכפלת הדטרמיננטים של כל מטריצה בנפרד.
13. ההגדרה של דטרמיננטה אינה תלויה בבסיס לכן דטרמיננטות של 2 מטריצות לפי בסיסים שונים שוות אאי"ם המטריצות שקולות שורות לאחר המרת הבסיסים. האמת די הגיוני כי המרה של בסיס הוא מכפלה של מטריצה אלמנטרית ו 2 מטריצות שקולות שורות – הדטרמיננטים שלהן שווים.
14. במערכת משוואות מהצורה AX=B אם det A≠0 אז קיים פתרון יחיד והוא נתון ע"י נוסחת קרמר: 
15. הקופקטור של Aij הוא המטריצה המינורית של Aji כלומר המינורית המתחלפת.
16. המטריצה הצמודה של מטריצה A היא המטריצה המוחלפת של מטריצת הקופקטורים של A ורושמים אותה adj A. הנוסחה שלה: (adjA)ij=(-1)I+j|Aji|
17. אם det A≠0 אז היא הפיכה והמטריצה ההפיכה הינה: A-1 =1/A*adjA
18. הדרגה של מטריצה ריבועית מסדר n היא rk=n אם ה det A≠0 אחרת נבדוק את המינוריות שלה וכאשר נמצא det A≠0 אז הדרגה תהיה n-1. כלומר הדרגה של A היא הסדר הגדול ביותר של המינורים השונה מ 0.
19. |det(v1,v2)| כאשר v1,v2ÎR2 הוא השטח המכוון שבין הוקטורים והמשלימים שלהם. בהתאמה לגבי שלושה וקטורים ב R3.
20. תמורה σ היא פונקציה חח"ע ו-"על".
21. אם יש מספר זוגי של החלפות בתמורה אז המספר בעל סימן חיובי אחרת הוא בעל סימן שלילי. מספר ההחלפות הוא הסיגנום של התמורה ונרשם sgn(σ)={1,-1}
יום שבת, 11 ביוני 2011
העתקה ליניארית:
1. אם V ו- W מ"ו מעל אותו שדה F אז העתקה ליניארית (ה"ל) מ- V ל- W היא פונקציה שמסומנת: F:VàW והיא שומרת על הצרופים הליניאריים, כלומר מקיימת את התכונות הבאות:
א. f(v1+v2)=f(v1)+f(v2) לכל v1,v2ÎV.
ב. f(c*v)=c*f(v) עבור כל סקלר c ווקטור vÎV.
ג. בעצם אפשר להגיד שאם v=a1u1+…+anun אז T(v)=T(a1u1+…+anun)=a1T(u1)+…+anT(un)
2. אם V מ"ו מעל F, dim V=n והבסיס הסדור של V הוא B={e1…en} ; וגם W מ"ו מעל F, ו- w1…wn וקטורים ב W אז קיימת העתקה ליניארית יחידה T:VàW כך שלכל 1£i£n T(eI)=wI (T אופרטור ליניארי שפועל על V)
3. אם T:VàW העתקה ליניארית אז התמונה של T היא קב' התמונות T(v) כאשר vÎV ורושמים אותה imT
4. התמונה של T מסומנת imT היא תת מרחב של W.
5. אם T:VàW ה"ל כאשר {v1…vn} בסיס של V אז {T(v1)…T(vn)} פורשת את imT.
6. המימד של התמונה נקרא הדרגה של T. rk T = dim (imT ).
7. תמונה של בסיס אינה בסיס בד"כ כי התמונה של הוקטורים שהם בת"ל הם לא תמיד בת"ל.
8. הגרעין של T:VàW ליניארית יהיה ker T והוא קבוצת הוקטורים v כך ש T(v)=0.
9. הגרעין של T הוא תת מרחב של V
10. הגרעין הוא מרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית. הוא יכול להיות מרחב ריק עם וקטור ה 0 עבור הפתרון הטריוויאלי או מרחב בעל מימד n המיצג אין סוף פתרונות.
11. אם הגרעין שונה 0 אז הפונקציה לא הפיכה. ???
12. לכל העתקה ליניארית: אם dim V = n אז dim imT + dim kerT = dim V
13. אם T1:VàW ו- T2:VàW אז גם T1+T2:VàW. כלומר: (T1+T2)(v)=T1(v)+T2(v) וכנ"ל לגבי כפל בסקלר.
14. הרכבה של ה"ל היא גם ה"ל. כלומר: T2*T1(v)=T2(T1(v)). כמו כן: T*T(v) = T2(v); T0=I
15. T חח"ע אם T(x1)=T(x2) עבור x1=x2 כלומר עבור כל X יש רק Y אחד או עבור כל איבר בטווח יש רק איבר אחד בתחום.
16. T "על" כאשר התמונה היא כל w כלומר imT=W. במילים אחרות אם לכל איבר בתחום יש איבר התמונה (בטווח) כלומר עבור כל x יש y מתאים משלו. לא כך עבור y=x2.
17. T:VàW ה"ל הפיכה אאי"ם קיימת ה"ל T-1:WàV כך ש: T-1*T=Iv וגם T*T-1=Iw או לחליפין T חח"ע ו-"על".
18. נגדיר T:V1àV2. T חח"ע (בלתי סינגולרית) אאי"ם kerT = {0} וזאת משום שאם וקטור שונה מ 0 נותן תוצאה 0 אז האופרטור ההופכי יגדיר העתקה ליניארית של 0 לערך אחר השונה 0. וזאת סתירה כי אז יהיו כמה תוצאות משום ש T(λv)=λv=0 ואז לדוגמא גם 4 וגם 8 יתנו 0 סתירה לחח"ע.
19. אם T:v1àv2 ה"ל אז T חח"ע אאי"ם תמונותיהן של וקטורים בת"ל הם וקטורים בת"ל.
20. אם T:vàv ה"ל ו- dim V = n אז הטענות הבאות שקולות:
א. T הפיכה
ב. T חח"ע
ג. T "על"
21. אם T:VàV ה"ל הינה הפיכה אז T-1:VàV גם הפיכה.
22. העתקה ליניארית, חח"ע ו"על" (כלומר הפיכה) מ- V ל- W נקראת איזומורפיזם. @))
23. ניתן להשתמש באיזומורפיזם (שעובר בהעתקה ליניארית) כדי להוכיח בת"ל. לדוגמא אם ידוע ש: T(v1)…T(vn) בת"ל אז גם v1…vn בת"ל.
24. הצגה מטריציאלית של העתקה ליניארית: [T(v)]B’=A*[v]B באנלוגיה ל: Y=AX
25. אם A מטריצה mxn מעל F אז המימד של מרחב הפתרונות של AX=0 הוא m-r כאשר הדרגה של A היא r
26. שינוי בסיס בה"ל: A’=Q-1AP כאשר Q,P מטריצות מעבר בסיסים בהתאם ו- A מייצגת את ההעתקה הליניארית.
אם A ו- B מטריצות nxm מעל F אז A ו- B דומות אאי"ם קיימת מטריצה P הפיכה כך ש: B=P=1AP
הירשם ל-
רשומות (Atom)