בסיס אורתוגונלי:

1.        אם V מ"ו מכפלה פנימית אז:

א.       v,v’ÎV אורתוגונלים אאי"ם (v,v’)=0 ורושמים: V^V’

ב.        אם יש קבוצת וקטורים {v₁…v_k} שנקראת אורתוגונלית אז לכל 1≤I≠j≤k  (v_I,v_j)=0.

ג.         קבוצת וקטורים היא אותונורמלית אם היא אורתוגונלית ולכל I הנורמה ||V_I||=1

2.        קבוצה אורתוגונלית של וקטורים שונים מ 0 היא בת"ל.

3.        אם V מרחב מכפלה פנימית  אז  קיים בסיס אורתונורמלי (שניתן לבנות לפי גרם שמיט).

4.        תהליך אורתוגונליזציה של גרם-שמיט:

5.        אם V מרחב מכפלה פנימית מעל F (R או C) ו- dim V = n,  וגם W ת"מ של V אז W⁺ הוא ת"מ של V והוא משלים של W. כלומר  V=WÅW^{^}, ו- W^{^} נקרא המשלים האורתוגונלי של W.  נובע מכך כי  dim V=dimW+dimW^{^}.

6.        אם B={e₁…e_n} בסיס של מ"ו V מעל שדה F ו- A מטריצה ריבועית מסדר n אז וקטורי העמוד של מטריצה A מהווים בסיס של V אאי"ם A הפיכה. כלומר אם מטריצה מקיימת u^-1=u^*  אז נגיד שהיא אורתוגונלית (מעל R) ואוניטרית (מעל C)

7.        אם uÎM_n(C) אם uÎM_n(R) אז וקטורי העמוד שלה מהווים בסיס אורתוגונלי של M_nx1(C) או M_nx1(R) בהתאמה  אאי"ם u אוניטרית או אורתוגונלית (בהתאמה).

8.        שינוי בסיסים אורתונורמלים:  מטריצת המעבר P תהיה אוניטרית/אורתוגונלית ונשתמש בנוסחת המעבר:

9.        A ו- B מטריצות ריבועיות מעל R או C נקראות דומות אוניטריות אאי"ם קיימת מטריצה אוניטרית/אורתוגונלית P כך ש: B=P*AP

10.     אם u מטריצה מעל C או R אז הטענות הבאות שקולות: (בטענות אלו u היא בעצם מטריצה שמעתיקה קו במרחב בזוית α וקו במרחב בזוית γ).

א.       u אוניטרית (או אורתוגונלית)

ב.        u שומרת על מכפלה פנימית, כלומר לכל x,yÎM_nx1(C/R) מתקיים (ux,uy)=(x,y)

ג.         u שומרת על אורכים כלומר לכל xÎM_nx1(C/R) מתקיים ||u(x)||=x.

11.     אם uÎM(C) (או מעל R), M_nx1(C)=V (או מעל R) עם מכפלה סטנדרטית, אז לכל x,y ב C מתקיים (ux,y)=(x,u*y).

12.     הערכים העצמיים של מטריצה הרמיטית הם ממשיים. במטריצה הרמיטית (ux,x)=(x,ux)  ולכן:  λ(x,x)=(λx,x)=(ux,x)=(x,ux)=(x,λx)= (x,x)

13.     וקטורים עצמיים שח מטריצה הרמיטית u שייכים לערכים עצמיים שונים אורתוגונלים. הוכחה: נגדיר: λ≠μ ערכים עצמיים אז ux=λx וגם uy=μy. ניתן לומר:  λ(x,y)=(λx,y)=(ux,y)=(x,uy)=(x,μx)=μ(x,y). כלומר  (λ-μ)(x,y)=0, אם λ≠μ אז (x,y)=0 ואז x^y.

14.     אם A סימטרית מעל R או C אז הפולינום האופייני: P_A(X)=(X-λ₁)…(X-λ_n) כאשר λÎR. כלומר תמיד קיים וקטור עצמי שונה 0 עבור A.

15.     אם A מטריצה הרמיטית ריבועית מסדר n אז A דומה אוניטרית למטריצה אלכסונית. כלומר קיימת P אוניטרית (אלכסונית) כל ש:  A’=P*AP

16.     אם A סימטרית מעל R אז A דומה אורתוגונלית כלומר A’=P^tAP וקיים בסיס אורתוגונלי של M_nx1(R) שמורכב מוקטורים עצמיים של A).

מרחבי מכפלה פנימית

        1)אם V מ"ו מעל R או C אז מכפלה פנימית של V היא פונקציה שמקיימת את התכונות הבאות:

א.       העתקה ליניארית ביחס למשתנה הראשון. (סגירות לחיבור ולכפל בסקלר)

ב.        לכל v₁,v₂  מתקיים 

ג.         לכל V≠0 מתקיים (V,V)>0.

2. מסקנות:

א.      

ב.        אם (V,V)=0  אז V=0

ג.         סמי ליניאריות ביחס למשתנה השני:

I.                    (v,u₁+u₂)=(v,u₁)+(v,u₂)

II.                    

III.               אם F=R אז גם ליניארית ביחס למשתנה השני.

 3.  מכפלה פנימית סטנדרטית מוגדרת באופן הבא עבור: V=(X₁…X_n);  V’=(Y₁…Y_n); VÎFⁿ      

1.        הדרישות להוכחה של מכפלה פנימית:

א.       ליניאריות ביחס לראשון (סגירות חיבור וכפל בסקלר)

ב.         

2.        אם מוגדרת מכפלה פנימית על V אז נאמר כי V הוא מרחב מכפלה פנימית.

3.        אם V מרחב מכפלה פנימית אז לכל vÎV נגדיר את הנורמה של V:  |V|=(V,V)^1/2

4.        מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי מעל R נקרא אוקלידי ומעל C נקרא אוניטרי.

5.        לכל V₁,V₂ ב- V מתקיימים:

א.       ||cV||=|c|*||V||

ב.        לכל V≠0   ||V||>0

ג.         אי שוויון של קושי-שוורץ:  |(V,V’)| ≤ ||V|| + ||V’||

ד.         ||V+V’|| ≤ ||V|| + ||V’||

6.         המטריצה המוחלפת צמודה של B=(B_ij) תסומן כ- B*.       ()

7.        סכום של מכפלה פנימית של מטריצות A,B הוא סכום אברי האלכסון של כפל המטריצות AB*. כלומר:  (A,B)=tr(AB*). בהכפלת המטריצות יש לחשב רק את איברי האלכסון.

8.        אם K,H מטריצות ריבועיות nxn כך שלכל X,Y מטריצות nx1 מתקיים X*HY=X*KY אז H=K

9.        מטריצה A ריבועית מסדר n מעל C או R שמקיימת A*=A נקראת הרמיטית. אם היא מעל R אז היא סימטרית (A^t=A).

10.     מטריצה ריבועית A מעל R או C נקראת מוגדרת חיובית אם מתקיים עבור כל אברי האלכסון: ממשיים (מעל R ולא מעל C) וגדולים מ 0.

11.     אם נתון: V מ"ו ממימד n ו- B={e₁…e_n} בסיס של V, אז אם ( , ) היא מכפלה פנימית של V ו- H( (e_I,e_j) ) המטריצה של מכפלה פנימית אז:

א.       H הרמיטית ומוגדרת חיובית

ב.        Y*HX=(V,V’) לכל  v,v’ÎV

12.     בצורה הפוכה אם H מטריצה הרמיטית ומוגדרת חיובית וריבועית אז הפונקציה המוגדרת Y*HX=(V,V’) ומגדירה מכפלה פנימית על V.

תת מרחב אינווריאנטי

1.        אם V_λ תת מרחב עצמי של v עבור λ ערך עצמי של T אז לכל vÎV_λ מתקיים T(v)=λv ולכן לכל vÎV_λ מתקיים T(v)ÎV_λ. הפעולה של T משאירה את v באותו תת מרחב.

2.        אם T:VàV ה"ל ו- w תת מרחב של V נאמר כי w אינווריאנטי תחת T או T אינווריאנטי   אאי"ם לכל wÎW מתקיים T(w)ÎW או T(w)ÍW.

3.        אם W אינווריאנטי תחת T  ו- dim w=m וגם – {e₁…e_n}  בסיס של W אז ניתן להשלים את הבסיס W לבסיס V ע"י U – ת"מ משלים. כלומר קיים בסיס עבור כל ת"מ אינווריאנטי תחת T וניתן להשלים את כולם לבסיס אחד גדול (משום אם w_I אינווריאנטי תחת T אז w_jÏw_j ולכל אחד בסיס משלו שהחיתוך הוא {0} ).

4.        אם T:VàV ה"ל כאשר V מ"ו מעל C אז קיימים v₁…v_k  תת מרחבים של V  שהם אינווריאנטים תחת T כך ש:

א.        V=v₁Å…Åv_n.

ב.        הצמצום של T ל V_I יהיה מטריצת ג'ורדן

ג.         כל V_I  הוא בלתי פריק (הוא איבר בסכום ישר של V )

5.        כיצד מבצעים צמצום של T ל V_I ???

6.        מטריצת ג'ורדן יחידה עד כדי החלפה של סדר בלוקים.

7.        אם RS=SR כאשר R,S ה"ל אז R הוא אינווריאנטי תחת S. כלומר R-λI מתחלפת עם S ולכן ker(R-λI) אינווריאנטי תחת S. (לפי Rx=λx ç (R-λI)x=0 ç (R-λI)S=RS-λIS ç  S(R-λI)=SR-λS ).