1. אם V ו- W מ"ו מעל אותו שדה F אז העתקה ליניארית (ה"ל) מ- V ל- W היא פונקציה שמסומנת: F:VàW והיא שומרת על הצרופים הליניאריים, כלומר מקיימת את התכונות הבאות:
א. f(v1+v2)=f(v1)+f(v2) לכל v1,v2ÎV.
ב. f(c*v)=c*f(v) עבור כל סקלר c ווקטור vÎV.
ג. בעצם אפשר להגיד שאם v=a1u1+…+anun אז T(v)=T(a1u1+…+anun)=a1T(u1)+…+anT(un)
2. אם V מ"ו מעל F, dim V=n והבסיס הסדור של V הוא B={e1…en} ; וגם W מ"ו מעל F, ו- w1…wn וקטורים ב W אז קיימת העתקה ליניארית יחידה T:VàW כך שלכל 1£i£n T(eI)=wI (T אופרטור ליניארי שפועל על V)
3. אם T:VàW העתקה ליניארית אז התמונה של T היא קב' התמונות T(v) כאשר vÎV ורושמים אותה imT
4. התמונה של T מסומנת imT היא תת מרחב של W.
5. אם T:VàW ה"ל כאשר {v1…vn} בסיס של V אז {T(v1)…T(vn)} פורשת את imT.
6. המימד של התמונה נקרא הדרגה של T. rk T = dim (imT ).
7. תמונה של בסיס אינה בסיס בד"כ כי התמונה של הוקטורים שהם בת"ל הם לא תמיד בת"ל.
8. הגרעין של T:VàW ליניארית יהיה ker T והוא קבוצת הוקטורים v כך ש T(v)=0.
9. הגרעין של T הוא תת מרחב של V
10. הגרעין הוא מרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית. הוא יכול להיות מרחב ריק עם וקטור ה 0 עבור הפתרון הטריוויאלי או מרחב בעל מימד n המיצג אין סוף פתרונות.
11. אם הגרעין שונה 0 אז הפונקציה לא הפיכה. ???
12. לכל העתקה ליניארית: אם dim V = n אז dim imT + dim kerT = dim V
13. אם T1:VàW ו- T2:VàW אז גם T1+T2:VàW. כלומר: (T1+T2)(v)=T1(v)+T2(v) וכנ"ל לגבי כפל בסקלר.
14. הרכבה של ה"ל היא גם ה"ל. כלומר: T2*T1(v)=T2(T1(v)). כמו כן: T*T(v) = T2(v); T0=I
15. T חח"ע אם T(x1)=T(x2) עבור x1=x2 כלומר עבור כל X יש רק Y אחד או עבור כל איבר בטווח יש רק איבר אחד בתחום.
16. T "על" כאשר התמונה היא כל w כלומר imT=W. במילים אחרות אם לכל איבר בתחום יש איבר התמונה (בטווח) כלומר עבור כל x יש y מתאים משלו. לא כך עבור y=x2.
17. T:VàW ה"ל הפיכה אאי"ם קיימת ה"ל T-1:WàV כך ש: T-1*T=Iv וגם T*T-1=Iw או לחליפין T חח"ע ו-"על".
18. נגדיר T:V1àV2. T חח"ע (בלתי סינגולרית) אאי"ם kerT = {0} וזאת משום שאם וקטור שונה מ 0 נותן תוצאה 0 אז האופרטור ההופכי יגדיר העתקה ליניארית של 0 לערך אחר השונה 0. וזאת סתירה כי אז יהיו כמה תוצאות משום ש T(λv)=λv=0 ואז לדוגמא גם 4 וגם 8 יתנו 0 סתירה לחח"ע.
19. אם T:v1àv2 ה"ל אז T חח"ע אאי"ם תמונותיהן של וקטורים בת"ל הם וקטורים בת"ל.
20. אם T:vàv ה"ל ו- dim V = n אז הטענות הבאות שקולות:
א. T הפיכה
ב. T חח"ע
ג. T "על"
21. אם T:VàV ה"ל הינה הפיכה אז T-1:VàV גם הפיכה.
22. העתקה ליניארית, חח"ע ו"על" (כלומר הפיכה) מ- V ל- W נקראת איזומורפיזם. @))
23. ניתן להשתמש באיזומורפיזם (שעובר בהעתקה ליניארית) כדי להוכיח בת"ל. לדוגמא אם ידוע ש: T(v1)…T(vn) בת"ל אז גם v1…vn בת"ל.
24. הצגה מטריציאלית של העתקה ליניארית: [T(v)]B’=A*[v]B באנלוגיה ל: Y=AX
25. אם A מטריצה mxn מעל F אז המימד של מרחב הפתרונות של AX=0 הוא m-r כאשר הדרגה של A היא r
26. שינוי בסיס בה"ל: A’=Q-1AP כאשר Q,P מטריצות מעבר בסיסים בהתאם ו- A מייצגת את ההעתקה הליניארית.
אם A ו- B מטריצות nxm מעל F אז A ו- B דומות אאי"ם קיימת מטריצה P הפיכה כך ש: B=P=1AP
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה