1. סקלר λÎF נקרא ערך עצמי של T אם קיים 0≠vÎV כך ש: T(v)=λv. ניתן לומר כי v וקטור עצמי ביחס לערך העצמי λ. גם cv יהיה ערך עצמי עבור λ כאשר c הוא סקלר.
2. אם קיימת מטריצה ריבועית שמוגדרת עם אופרטור ליניארי: T(v)=Av אז קיים ערך עצמי λ (אחד לפחות) כך ש: Av=λv כאשר v≠0.
3. הוקטורים העצמיים של כל ערך עצמי λi מהווים תת מרחב בעל מימד ≤1. סכום ישר של תתי המרחבים מהווה בסיס של האופרטור הליניארי הקשור ב A לפי T(v)=Av.
4. הטענות הבאות שקולות:
א. λ הוא ערך עצמי של T.
ב. האופרטור (T-λI) הוא סינגולרי (בלתי הפיך)
ג. det(T-λI)=0.
5. הפולינום האופייני של האופרטור T הוא PT(x) = det(T-xIn)= /[T]B=A/ = det(A-xIn) כאשר B הוא בסיס של v.
6. הפולינום האופייני לא תלוי בבסיס כלומר למטריצות דומות אותו פולינום אופייני ולכן אותם ערכים עצמיים. (הסיבה לכך היא בגלל שהוא מחושב ע"י דטרמיננט שאינו תלוי בבסיסים).
7. הערכים העצמיים של מטריצה משולשת הם איברי האלכסון שלה.
8. וקטורים עצמיים של A (או של אופרטור ליניארי T) מהווים תת מרחב של Fn (או של v).
9. וקטורים עצמיים שונים מ- 0 השייכים לערכים עצמיים שונים הם בת"ל.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה