מרחב וקטורי (מ"ו):

1.        מ"ו V מעל שדה F הוא קבוצה שאיבריה נקראים וקטורים , ובה מוגדרות שתי פעולות: חיבור וכפל בסקלר, אשר מקיימות את האקסיומות הבאות:

חיבור:

א.       סגירות לחיבור

ב.        קומוטטיביות:

ג.         אסוציאטיביות:

ד.        איבר 0: וקטור ה 0  אשר מקיים 0+V=V+0=V

ה.       איבר נגדי/צמוד:  וקטור סימטרי של V שנסמנו כ V- אשר מקיים  V+(-V)=0

כפל בסקלר:

א.       סגירות לכפל

ב.        איבר יחידה:  1*V=V

ג.         דיסטריביוטיביות:  

ד.         אסוציאטיביות:  (c+d)V=cV+dV

2.        וקטור v מעל V הוא צרוף ליניארי של הוקטורים  אאי"ם קיימים  המקיימים 

3.        מרחב וקטורי מעל R יהיה פולינום

תת מרחב וקטורי (ת"מ):

1.  אם V מ"ו מעל F ו- W תת קבוצה של V אז ניתן להגיד כי W הוא תת מרחב של V אם W הוא מ"ו עבור אותן פעולות חיבור וכפל בסקלר שמוגדרות ב- V   וניתן לסמן  . כלומר  היא תת מרחב של V אאי"ם:

א.       W≠Ø  לא קבוצה ריקה    (תמיד יש את וקטור ה 0 בפנים)

ב.        סגירות לחיבור ב W

ג.         סגירות לכפל בסקלר ב W

2. קבוצת הפתרונות של מערכת הומוגנית AX=0 , המטריצה A mxn היא תת מרחב של המ"ו של המטריצות nx1 מעל F   (אך לא נכון אם המערכת לא הומוגנית).

 3.   חיתוך של מרחבים הוא תת מרחב.

4.        אם S הוא תת קבוצה (לא ריקה) של V, אז החיתוך S של כל ת"מים שמכילים את S הוא הת"מ הכי קטן שמכיל את S ונסמנו . יתר על כן L(S) היא קבוצת הצרופים הליניארים של וקטור S:   והוא נקרא המרחב הנפרש ע"י S ורושמים אותו  sp<S>.  כלומר S פורשת את L(S)

5.        אם W ת"מ של V אז הוא מכיל את כל הצרופים הליניאריים של הוקטורים שלו. כלומר

6.         ¢ מ"ו מעל ¢ משום שכל שדה F הוא מ"ו מעל עצמו. כמו כן ¢ מ"ו מעל R כי הוא מכיל את R בתוכו çè כל שדה הוא מ"ו מעל אחד מאיבריו.

7.        מרחב השורות של מטריצה A mxn מעל F,  הוא תת מרחב של Fⁿ (כאשר n הוא מספר האיברים בכל שורה) הנפרש ע"י וקטורי השורות של A.

8.        אם  תת מרחבים של מ"ו V אז W שיהיה הסכום w₁+w₂+…+w_n=W הוא בעצם sp<w₁…w_n>=W

9.        אם w₁,w₂  תת מרחבים אז האיחוד שלהם הוא בדר"כ לא תת מרחב של אחד מהם.

10.     קבוצת פתרונות לא הומוגנית לעולם לא תהיה ת"מ משום שאין בה את וקטור ה- 0.

11.     אם U,WÍV ת"מ כך ש: uËW וגם wËU  אז UÈW לא ת"מ: ß  לפי חוקי הסגירות בתוך ת"מ. אבל להגיד wÎU זה לא נכון ולכן הוכחנו את הסתירה.