תת מרחב אינווריאנטי

1.        אם V_λ תת מרחב עצמי של v עבור λ ערך עצמי של T אז לכל vÎV_λ מתקיים T(v)=λv ולכן לכל vÎV_λ מתקיים T(v)ÎV_λ. הפעולה של T משאירה את v באותו תת מרחב.

2.        אם T:VàV ה"ל ו- w תת מרחב של V נאמר כי w אינווריאנטי תחת T או T אינווריאנטי   אאי"ם לכל wÎW מתקיים T(w)ÎW או T(w)ÍW.

3.        אם W אינווריאנטי תחת T  ו- dim w=m וגם – {e₁…e_n}  בסיס של W אז ניתן להשלים את הבסיס W לבסיס V ע"י U – ת"מ משלים. כלומר קיים בסיס עבור כל ת"מ אינווריאנטי תחת T וניתן להשלים את כולם לבסיס אחד גדול (משום אם w_I אינווריאנטי תחת T אז w_jÏw_j ולכל אחד בסיס משלו שהחיתוך הוא {0} ).

4.        אם T:VàV ה"ל כאשר V מ"ו מעל C אז קיימים v₁…v_k  תת מרחבים של V  שהם אינווריאנטים תחת T כך ש:

א.        V=v₁Å…Åv_n.

ב.        הצמצום של T ל V_I יהיה מטריצת ג'ורדן

ג.         כל V_I  הוא בלתי פריק (הוא איבר בסכום ישר של V )

5.        כיצד מבצעים צמצום של T ל V_I ???

6.        מטריצת ג'ורדן יחידה עד כדי החלפה של סדר בלוקים.

7.        אם RS=SR כאשר R,S ה"ל אז R הוא אינווריאנטי תחת S. כלומר R-λI מתחלפת עם S ולכן ker(R-λI) אינווריאנטי תחת S. (לפי Rx=λx ç (R-λI)x=0 ç (R-λI)S=RS-λIS ç  S(R-λI)=SR-λS ).