1)אם V מ"ו מעל R או C אז מכפלה פנימית של V היא פונקציה שמקיימת את התכונות הבאות:
א. העתקה ליניארית ביחס למשתנה הראשון. (סגירות לחיבור ולכפל בסקלר)
ב. לכל v1,v2 מתקיים 
ג. לכל V≠0 מתקיים (V,V)>0.
2. מסקנות:
א. 
ב. אם (V,V)=0 אז V=0
ג. סמי ליניאריות ביחס למשתנה השני:
I. (v,u1+u2)=(v,u1)+(v,u2)
II. 
III. אם F=R אז גם ליניארית ביחס למשתנה השני.
3. מכפלה פנימית סטנדרטית מוגדרת באופן הבא עבור: V=(X1…Xn); V’=(Y1…Yn); VÎFn 
1. הדרישות להוכחה של מכפלה פנימית:
א. ליניאריות ביחס לראשון (סגירות חיבור וכפל בסקלר)
ב.
2. אם מוגדרת מכפלה פנימית על V אז נאמר כי V הוא מרחב מכפלה פנימית.
3. אם V מרחב מכפלה פנימית אז לכל vÎV נגדיר את הנורמה של V: |V|=(V,V)1/2
4. מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי מעל R נקרא אוקלידי ומעל C נקרא אוניטרי.
5. לכל V1,V2 ב- V מתקיימים:
א. ||cV||=|c|*||V||
ב. לכל V≠0 ||V||>0
ג. אי שוויון של קושי-שוורץ: |(V,V’)| ≤ ||V|| + ||V’||
ד. ||V+V’|| ≤ ||V|| + ||V’||
6. המטריצה המוחלפת צמודה של B=(Bij) תסומן כ- B*. (
)
)7. סכום של מכפלה פנימית של מטריצות A,B הוא סכום אברי האלכסון של כפל המטריצות AB*. כלומר: (A,B)=tr(AB*). בהכפלת המטריצות יש לחשב רק את איברי האלכסון.
8. אם K,H מטריצות ריבועיות nxn כך שלכל X,Y מטריצות nx1 מתקיים X*HY=X*KY אז H=K
9. מטריצה A ריבועית מסדר n מעל C או R שמקיימת A*=A נקראת הרמיטית. אם היא מעל R אז היא סימטרית (At=A).
10. מטריצה ריבועית A מעל R או C נקראת מוגדרת חיובית אם מתקיים עבור כל אברי האלכסון: ממשיים (מעל R ולא מעל C) וגדולים מ 0.
11. אם נתון: V מ"ו ממימד n ו- B={e1…en} בסיס של V, אז אם ( , ) היא מכפלה פנימית של V ו- H( (eI,ej) ) המטריצה של מכפלה פנימית אז:
א. H הרמיטית ומוגדרת חיובית
ב. Y*HX=(V,V’) לכל v,v’ÎV
12. בצורה הפוכה אם H מטריצה הרמיטית ומוגדרת חיובית וריבועית אז הפונקציה המוגדרת Y*HX=(V,V’) ומגדירה מכפלה פנימית על V.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה