בסיס ומימד:

1.        אם V מ"ו מעל F ו- v₁…v_k וקטורים ב V, אז נאמר שהוקטורים לא תלויים ליניארית אאי"ם מתקיים:  אם λ₁V₁+λ₂V₂+…+λ_kV_k=0   אז   λ₁+λ₂+…+λ_k=0.

2.        V₁…V_k  וקטורים ב V תלויים ליניארית אם:  λ₁…λ_k  לא כולם אפס, מקיימים λ₁V₁+λ₂V₂+…+λ_kV_k=0 .  ואז אחד הוקטורים (או יותר) הוא צרוף ליניארי של שאר הוקטורים.

3.        וקטור ה 0 הוא תלוי ליניארית והוא בעצם מכפלה:   0*V

4.        אם V מ"ו מעל F,  קבוצה של וקטורים של V (שהיא בת"ל) שפורשת את V נקראת בסיס של V.

5.        מספר האיברים בבסיס הוא קטן או שווה לאיברים בקבוצה הפורשת שלו. אם u₁…u_k  קבוצה פורשת של V אז מס' הוקטורים של כל קבוצת וקטורים בת"ל היא קטן או שווה ל k.

6.        אם יש ב V בסיס סופי אז נאמר כי V הוא מימד סופי. אם V הוא מימד סופי אז לכל הבסיסים שלו יש את אותו מספר וקטורים. מספר הוקטורים בבסיס הוא מימד של V ורושמים  אותו  dim V.

7.        הסכמה רווחת:  dim (0)  = 0.

8.        משפט המימד: dim U + dim W = dim (UÇW) + dim (U+W). ובמקרה פרטי של סכום ישר אז מתקיים: dim U Å dim W = dim (UÇW) + dim (U+W) = 0 + dim(U+W) = dim (U+W).

9.        אם dim V = n  אז:

א.       כל קבוצה בת"ל מכילה לכל היותר n וקטורים.

ב.        כל תת קבוצה של V המכילה יותר מ n וקטורים היא תלויה ליניארית.

ג.         כל קבוצה פורשת של V מכילה לפחות n וקטורים.  (ואולי עוד כמה שלא שייכים ל V אלא לחלק הנוסף שנפרש ע"י הקבוצה)

10.     השלמה לבסיס של V:  אם V מימד סופי וגם W ת"מ של V אז כל תת קבוצה בת"ל של W היא סופית ואפשר להשלימה לבסיס של W. בפרט אפשר להשלים כל תת קבוצה בת"ל של V לבסיס של V.

11.      אם dim V = n  אז:

א.       כל תת קבוצה בת"ל בת n וקטורים היא בסיס.

ב.        כל תת קבוצה פורשת בת n איברים היא בסיס

12.     אם KÍL ת"מ עם אותו מימד אז K=L.

קורדינטות שינוי בסיס:

1.          אם V מ"ו ממימד סופי n אז  B=V₁…V_n  בסיס של v. çè   עבור כל vÎV  קיימים α₁…α_n סקלרים באופן יחיד כך ש:  v=α₁u₁+…+α_nu_n

2.           בסיס סדור – בסיס בו יש חשיבות לסדר האיברים ואסור לשנות סדר זה. לדוגמא פונקצית הפולינום  B={1,X,X­²,X³}

3.          וקטור הקואורדינטות של וקטור v  לפי בסיס B (שמורכב מהוקטורים {u₁…u_n} )   יהיה הצרוף של  (a₁…a_n)  ויסומן [v]_s=[a₁,a₂,…,a_n].  אם נפשט זאת בכתיבה בעצם נראה כי  SÊv=a₁u₁+…+a_nu_n.

4.          אם הקואורדינטה של הוקטור v לפי בסיס B היא [v]_b  אז אותו וקטור לפי בסיס B’ יהיה P*[v]_b’.  כאשר P היא מטריצת המעבר בין הבסיסים (והיא הפיכה).

כדי לעבור מבסיס s={u₁…u_n} לבסיס e={e₁…e_n} נביע את